Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B，过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，过点C作CD⊥y轴于点D，点E在线段AC上，连接ED，且ED＝EC，连接EB交y轴于点F．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求点C的坐标；

（3）若点G在直线AB上，连接FG，当∠AGF＝∠AFB时，直接写出线段AG的长；

（4）在（3）的条件下，点H在线段ED上，点P在平面内，当△PAG≌△PDH时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）C（﹣6，﹣5）；（3）；（4）P（，﹣1）

【解析】

（1）先求出点A，B坐标，再代入抛物线解析式中，即可得出结论；

（2）先判断出△AOB∽△MOA，得出，求出，进而得出直线AM的解析式为，直线AM和抛物线解析式联立求解即可得出结论；

（3）先判断出∠EAF＝∠BFG，进而判断出△AFE∽△FGB，得出，再求出EF＝，BF＝，即可得出结论；

（4）先判断出∠PAG＝∠PDH，PA＝PD，进而判断出点P在AD的垂直平分线上，设P（m，﹣1），再判断出△APB≌△DPE（SAS），得出PE＝BP，利用PE＝PB建立方程求解即可得出结论．

解：针对于直线y＝﹣x+3，

令x＝0，则y＝3，

∴A（0，3），

令y＝0，

则0＝﹣x+3，

∴x＝4，

∴B（4，0），

将点A（0，3），B（4，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；

（2）如图1，设AC与x轴的交点为M，

∵AC⊥AB，

∴∠OAM+∠OAB＝90°，

∵∠OBA+∠OAB＝90°，

∴∠OAM＝∠OBA，

∵∠AOB＝∠MOA＝90°，

∴△AOB∽△MOA，

∴，

∴MO＝＝，

∴M（﹣，0），

∵A（0，3），

∴直线AM的解析式为y＝x+3①，

由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3②，

联立①②解得，或，

∴C（﹣6，﹣5）；

（3）如图2，

∵CD⊥y轴，EC＝ED，

∴点E是CD的垂直平分线上，

∴点E在AC上，

∴E（﹣3，﹣1），

由（1）知，A（0，3），B（4，0），

∴AB＝5，AE＝5，

∴AB＝AE，

∴∠AEO＝∠ABO＝45°，

∴∠AFB＝∠AEO+∠OAE＝45°+∠OAE，∠AGF＝∠ABO+∠BFG＝45°+∠BFG，

∵∠AGF＝∠AFB，

∴∠EAF＝∠BFG，

∵∠AEF＝∠FBG＝45°，

∴△AFE∽△FGB，

∴，

∴BG＝，

∵B（4，0），E（﹣3，﹣1），

∴直线BE的解析式为y＝x﹣，

∴F（0，﹣），

∴EF＝＝，BF＝，

∴BG＝＝，

∴AG＝AB﹣BG＝；

（4）如图3，

∵△PAG≌△PDH，

∴∠PAG＝∠PDH，PA＝PD，

∵PA＝PD，

∴点P在AD的垂直平分线上，

∵A（0，3），

∴设P（m，﹣1），

连接BP，PE，

∴PE＝m+3，BP＝，

∵D（0，﹣5），E（﹣3，﹣1），

∴DE＝5＝AB，

在△APB和△DPE中，，

∴△APB≌△DPE（SAS），

∴PE＝BP，

∴m+3＝，

∴m＝，

∴P（，﹣1）．