Question

【题目】如图，在ABCD中，AB＝6a，BC＝6b，∠D＝60°，点E、F、G、H分别在ABCD各边上，且BE＝DG＝AE，CF＝AH＝BF．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）若四边形EFGH是菱形，求的值；

（3）四边形EFGH能为正方形吗？若能，请直接写出a、b的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）不能，理由见解析

【解析】

（1）证明△DGH≌△BEF，可得GH＝EF，同理证得△AEH≌△CGF，可得EH＝GF，则结论得证；

（2）过H，F作HP⊥CD，FQ⊥CD，交直线CD于P、Q，可得∠DHP＝∠CFQ＝30°，求出DP＝2b，FQ＝b，则PG＝2a﹣2b，QG＝b+4a，由PG2+PH2＝GQ2+FQ2，得出a、b的关系式12a2+16ab﹣12b2＝0，可求得；

（3）可证明△PHG≌△QGF，得出HP＝GQ，PG＝QF，则2b＝4a+b，2a﹣2b＝，解出a＝0，b＝0，故四边形EFGH不能是正方形．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D＝60°，AB＝CD＝6a，AD＝BC＝6b，

∵BE＝，

∴AB＝AE+AE，

∴AE＝4a，BE＝DG＝2a，CG＝4a，

同理AH＝CF＝2b，DH＝BF＝4b，

∴

∴△DGH≌△BEF（SAS），

∴GH＝EF，

同理△AEH≌△CGF（SAS），

∴EH＝GF，

∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图，过H，F作HP⊥CD，FQ⊥CD，交直线CD于P，Q，

∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠D＝∠BCQ＝60°，

∴∠DHP＝∠CFQ＝30°，

∴DP＝＝2b，CQ＝＝b，

∴PH＝＝2b/span>，FQ＝＝b，

∴PG＝DG﹣DP＝2a﹣2b，QG＝QC+CG＝b+4a，

∵四边形EFGH是菱形，

∴GH＝GF，

∴PG2+PH2＝GQ2+FQ2，

∴＝，

化简得：12a2+16ab﹣12b2＝0，

3b2﹣3a2＝4ab，

两边同除以3ab，得；

（3）不能，理由如下：

若四边形EFGH是正方形，则HG＝FG，∠HGF＝90°，

∴∠HGP+∠FGQ＝90°，

∵HP⊥CD，

∴∠HGP+∠GHP＝90°，

∴∠FGQ＝∠GHP，

在△PHG和△QGF中，

，

∴△PHG≌△QGF（AAS），

∴HP＝GQ，PG＝QF，

∴2b＝4a+b，2a﹣2b＝，

解得：a＝0，b＝0，

∴四边形EFGH不能是正方形．