Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为BC的中点，DE⊥BC交边AC与点E，点P为射线AB上一动点，点Q为AC上一动点，且∠PDQ=90°．若BP=2，求CQ的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：分类讨论

分析：首先证明△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性质求得DE和CE的长，然后分P在线段AB上和AB的延长线上两种情况进行讨论，根据△DBP和△DEQ相似的性质求解．

解答：解：∵DE⊥BC，∠A=90°，
∴∠CDE=∠A=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴

CD

AC

=

DE

AB

=

CE

CB

，
∴DE=

15

4

，CE=

25

4

；
当点P在线段AB上时，可证△DBP∽△DEQ，
∴

BP

EQ

=

DB

DE

，
∴EQ=

3

2

，
∴CQ=CE-EQ=

19

4

；
当点P在线段AB的延长线上时，△DBP∽△DEQ，
∴

BP

EQ

=

DB

DE

，
∴EQ=

3

2

，
∴CQ=CE+EQ=

31

4

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的对应边的比相等是常用的求线段的长度的方法，正确进行分类讨论是关键．