Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AE平分∠DAC交DC于E，点O是AC一点，⊙O过A、E两点，交AD于G，交AC于F，连接EF．
（1）求证：CD与⊙O相切．
（2）连接FG交AE于H，若EH=2，HA=，求EF长．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠OAE，
又∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠DAE=∠OEA，
∴AD∥OE，
∴∠ADE=∠OEC=90°，
∴OE⊥CD，
∴CD与⊙O相切；

（2）∵AF为圆O的直径，
∴∠AGF=90°，又∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠AGF，
∴GF∥DC，
∴∠HFE=∠FEC，
又∵∠FEC=∠EAF，
∴∠HFE=∠EAF，
又∵∠HEF=∠FEA，
∴△HEF∽△FEA，
∴=，
又∵HE=2，AE=AH+HE=2+=，
∴EF²=2×=9，
∴EF=3．
分析：（1）由三角形ABC为等腰三角形，D为底边的中点，根据三线合一得到AD与BC垂直，由AE为角平分线得到一对角相等，再根据半径OA=OE，根据等边对等角得到一对角相等，等量代换可得一对内错角相等，根据内错角相等可得AD与OE平行，进而得到OE与DC垂直，可得CD为圆O的切线；
（2）由AF为圆的直径，根据直角所对的圆周角为直角可得∠AGF为直角，又∠ADC也为直角，根据同位角相等可得GF与DC平行，可得一对内错角相等，再根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到一对角相等，等量代换得到∠HFE=∠EAF，再由一个公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得三角形HFE与三角形AEF相似，根据相似得比例，再由已知的EH与HA的长求出AE的长，进而求出EF的长．
点评：此题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．