Question

已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD．
（1）求证：

AD

AB

=

AG

AC

；
（2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC=90°．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）证明∠ADG=∠B，运用已知条件∠BAC=∠DAG，得到△ABC∽△ADG，即可解决问题．
（2）证明∠CDG=∠CAG，得到A、D、C、G四点共圆，借助圆内接四边形对角互补，即可解决问题．

解答：解：（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD，
且∠CDG=∠BAD，
∴∠ADG=∠B；
∵∠BAC=∠DAG，
∴△ABC∽△ADG，
∴

AD

AB

=

AG

AC

．
（2）∵∠BAC=∠DAG，
∴∠BAD=∠CAG；
又∵∠CDG=∠BAD，
∴∠CDG=∠CAG，
∴A、D、C、G四点共圆，
∴∠DAG+∠DCG=180°；
∵GC⊥BC，
∴∠DCG=90°，
∴∠DAG=90°，∠BAC=∠DAG=90°．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；同时还渗透了对四点共圆的判定及其性质等几何知识点的考查；对综合的分析问题、解决问题的能力提出了一定的要求．