Question

7．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）试判断线段DE与FH之间的数量关系，并说明理由；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．

Answer 1

分析 （1）DE=FH，根据D、F是各边的中点，利用三角形中位线定理可得到DE=$\frac{1}{2}$AC，再根据直角三角形的性质得出FH=$\frac{1}{2}$AC，进而得到DE=FH．
（2）利用已知条件先证明∠DHF=∠DAF，再证明∠DEF=∠DAF，进而可证明：∠DHF=∠DEF．

解答 解：（1）DE与FH相等．理由如下：
∵D、E分别是AB、BC边的中点．
∴ED∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∵AH⊥BC，垂足为H，F是AC的中点，
∴HF=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE=FH．
（2）∵DH=$\frac{1}{2}$AB，AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD=DH，
∴∠DAH=∠DHA，
同理可证：∠FAH=∠FHA，
∴∠DHF=∠DAF，
∵AD∥EF，DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠DAF，
∴∠DHF=∠DEF．

点评 此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和和性质以及直角三角形的性质和平行线的性质，解答第一小题的关键是利用直角三角形的性质得出HF=$\frac{1}{2}$AC是解决问题的关键．