Question

【题目】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点．

求、两点坐标；

求该二次函数的关系式

若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由；

点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标．

Answer 1

【答案】点，； ； ，，；

【解析】

（1）分别令解析式中x=0和y=0，求出点B、点C的坐标；
（2）设二次函数的解析式为，将点A、B、C的坐标代入解析式，求出a、b、c的值，进而求得解析式；
（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（4）设出E点的坐标为（a），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

令，可得，

令，可得，

即点，；设二次函数的解析式为，

将点、、的坐标代入解析式得，

，

解得：，

即该二次函数的关系式为；∵，

∴，

∴抛物线的对称轴是．

∴．

∵，

∴．

在中，由勾股定理，得

．

∵是以为腰的等腰三角形，

∴．

如图所示，作对称轴于，

∴，

∴．

∴，，；当时，

∴，，

∴．

∵直线的解析式为：．

如图，过点作于，设，，

∴．

∵，

，

．

∴时，，

∴．