Question

【题目】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

填空：________；

点在抛物线上，且，求面积的最大值；

设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？

Answer 1

【答案】（1）-3（2）当时，面积的最大值为（3）

【解析】

（1）将点A的坐标代入得2+2m+4=0，然后，再求得m的值即可；
（2）先求得点B和点C的坐标，当0<a<4时，过点P作x轴的垂线交BC于D．设直线BC的解析式为y=kx+4，将点B的坐标代入可求得BC的解析式，设点P的坐标为（a，，则点D的坐标为（a，-a+4）．然后由S△PBC=S△PCD+S△PBD可得到△PBC的面积与a的函数关系式，从而可得到△PBC的面积的最大值，当4≤a≤6时，过点P作y轴的垂线交BC于E．则E，PE=，然后依据S△PBC=S△PCE+S△PBE可得到△PBC的面积与a的函数关系式，从而可得到△PBC的面积的最大值；
（3）作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′F⊥y轴，垂足为F，交BC与点H，依据轴对称的性质可得到A′（4，2）将y=2代入直线BC的解析式可得到点H的坐标．

（1）①当时，过点作轴的垂线交于．

令得：，解得或，

∴．

设直线的解析式为，将点的坐标代入得：，解得，

∴的解析式为．

设点的坐标为，则点的坐标为．

∴．

∴．

当时最大值为．

②当时，过点作轴的垂线交于．

∴，．

∴．

当时最大值为．

综上可知，当时，面积的最大值为．作点关于的对称点，过点作轴，垂足为，交与点．

∵的解析式为．

∴．

∵点与点关于对称，

∴，，

∴．

在中，，即，

∴点在整个运动中所用的时间为．

∴当点、、在一条直线上时，所用时间最短．

将代入得：，解得：，

∴点的坐标为．