Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，点G在CD上，且CG=3DG．连接BG并延长，与AE交于点F，与AD延长线交于点H．连接DE交BH于点K，连接CK．若AE2=BFBH，FG=，则S四边形EFKC=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

设DG=3a，CG=9a，作KM⊥CD于M，EN⊥AB于N，想办法求出线段KF、EF、KM、EN、FG，想办法用a的代数式表示四边形EFKC的面积，再求出a即可解决问题.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ADC=90°，

∵CG=3DG，

∴可以假设DG=3a，CG=9a，

则AB=AD=BC=CD=12a，

∴DG∥AB，

∴，

∴DH=4a，GH=5a，BH=20a，

∵AE2=BFBH，AE=AB，

∴AB2=BFBH，

∴，∵∠ABF=∠ABH，

∴△ABF∽HBA，

∴∠AFB=∠BAH=90°，

∴AF=，BF=a，

∴FG=BH-BF-GH=a，

∵AE=AD，

∴∠ADE=∠AED，

∵∠ADE+∠GDK=90°，∠KEF+∠EKF=90°，∠EKF=∠GKD，

∴∠GDK=∠GKD，

∴GD=GK=3a，

作KM⊥CD于M，EN⊥AB于N，

∵，

∴KM=a，

∵△AFB≌△ANE，

∴EN=BF=a，

∴S四边形EFKC=S△EFK+S△ECK

=s△EFK+（S△CDE-S△CDK）

=×a×a+（×12a×a-×12a×a）

=a2，

∵FG=a，

∴a=，

∴S四边形EFKC=，

故答案为．