Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.

(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由.

(2)若AC＝3，BC＝4，OA＝1，求线段DE的长.

Answer 1

【答案】(1)相切，理由见解析；(2).

【解析】

（1）连接OD，根据圆的基本性质与垂直平分线的性质易得∠OAD=∠ODA，∠EDB=∠B，由∠OAD+∠B=90°，可得∠ODA+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，根据切线的判定即可得解；

（2）连接OE，设DE=BE=x，则CE=8-x，在Rt△ODE与Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，然后求解方程即可.

解：（1）相切，理由如下：

如图，连接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵EF垂直平分BD，

∴DE=BE，

∴∠EDB=∠B，

∵∠C＝90°，

∴∠OAD+∠B=90°，

∴∠ODA+∠EDB=90°，

∴∠ODE=90°，

∴直线DE与⊙O相切；

（2）连接OE，

设DE=BE=x，则CE=4﹣x，

∵AC＝3， OA＝1，

∴OC=2，

在Rt△ODE与Rt△OCE中，

OD2+DE2=CE2+OC2=OE2，

12+x2=（4﹣x）2+22，

解得x=.