Question

【题目】定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝2x2﹣2x+2是黄金抛物线．

（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；

（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；

（3）将黄金抛物线y＝2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位．

①直接写出平移后的新抛物线的解析式；

②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明．

Answer 1

【答案】（1）如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）①y＝2x2﹣2x﹣1；②符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣，），（，）．

【解析】

（1）按照黄金抛物线的定义给a、b、c赋值即可；

（2）将ac＝b2代入判别式当中，消去ac，然后对b分等于0和不等于0两种情讨论即可；

（3）①根据“上加下减”写出平移后的抛物线解析式即可；

②根据所给的限制条件，只能画出四种图形，分别写出相应的P点坐标即可；

（1）答：如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等；

（2）依题意得b2＝ac，

∴△＝b2﹣4ac＝b2﹣4b2＝﹣3b2，

∴当b＝0时，△＝0，此时抛物线与x轴有一个公共点，

当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点；

（3）

①抛物线y＝2x2﹣2x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y＝2x2﹣2x﹣1，

②存在．

如图：

若BQ＝AO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，

P点的坐标为：（0，﹣1），（1，﹣1），

此时，△AOB≌△BQP；

若BQ＝BO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，

令2x2﹣2x﹣1＝，

解得：x＝﹣或x＝，

∴P点的坐标为：（﹣，），（，）．

此时，△AOB≌△PQB；

综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣，），（，）．