Question

16．已知实数x，y，z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值与最小值之和（　　）

• A． $\frac{7}{3}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{10}{3}$
• D． $\frac{11}{3}$

Answer 1

分析 由x+y+z=5可得出y=5-x-z，将其代入xy+yz+zx=3中，整理后即可得出关于x的一元二次方程x²+（z-5）x+（z²-5z+3）=0，根据x为实数结合根的判别式即可得出（z-5）²-4（z²-5z+3）≥0，解之即可得出z的取值范围，将最大值与最小值相加即可得出结论．

解答 解：∵x+y+z=5，
∴y=5-x-z．
将y=5-x-z代入xy+yz+zx=3得：
x（5-x-z）+（5-x-z）z+zx=3，
整理得：x²+（z-5）x+（z²-5z+3）=0．
∵x是实数，
∴关于x的一元二次方程x²+（z-5）x+（z²-5z+3）=0的判别式是（z-5）²-4（z²-5z+3）≥0，
解得：-1≤z≤$\frac{13}{3}$，
-1+$\frac{13}{3}$=$\frac{10}{3}$．
故选C．

点评 本题考查了根的判别式，由方程有解结合根的判别式得出不等式（z-5）²-4（z²-5z+3）≥0是解题的关键．