Question

【题目】已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．
（1）若BD是AC的中线，求 的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，求 的值；
（3）结合（1）、（2），试推断 的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究 的值能小于 吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设CD=AD=a，则AB=AC=2a．

在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD= a，

∵∠A=∠E=90°，∠ADB=∠EDC，

∴△BAD∽△CED，

∴ = ，

∴ = ，

解得：CE= ，

∴ = =

（2）解：过点D作DF⊥BC于F，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴AD=DF，

∵在Rt△ABC中，cos∠ABC= = ，

在Rt△CDF中，sin∠DCF= = ，

即 = ，

∴ = ，

即 = ，

∴CD=2（2﹣ ）a，

∴AD=AC﹣CD=2a﹣2（2﹣ ）a=2（ ﹣1）a，

∴BD2=AD2+AB2=8（2﹣ ）a2，

∵Rt△ABD∽Rt△CED，

∴CE= = a2．

∴ = = =2

（3）解：当D在A点时， =1，

当D越来越接近C时， 越来越接近无穷大，

∴ 的取值范围是 ≥1．

设AB=AC=1，CD=x，AD=1﹣x，

在Rt△ABD中，BD2=12+（1﹣x）2，

又∵Rt△ABD∽Rt△ECD，

∴ ，即 = ，

解得：CE= ，

若 ，则有3x2﹣10x+6=0，

∵0＜x≤1，

∴解得

∴ ，

表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小， 的值则随着D从A向C移动而逐渐增大，

∴探究 的值能小于 ，此时AD=

【解析】先设AB=AC=2a，CD=a，则BC= a，AD=a．求出BD，又求得Rt△ABD∽Rt△ECD，（1）BD是AC的中线，则CD=AD=x= ，则解得；（2）BD是∠ABC的角平分线，则求得x，y值；（3）由以上两个问题，从 的比值求得x的值，则求得 的值．
【考点精析】掌握等腰直角三角形和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．