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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;

(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.

【答案】(1)y=x2+x+4;(2)点E的坐标为(1,),(3,);(3)菱形的边长为44.

【解析】

试题分析:(1)把点A(2,0),点B(4,0),点D(2,4)代入y=ax2+bx+c,用待定系数法求出抛物线解析式即可.(2)分点E在直线CD上方的抛物线上和点E在直线CD下方的抛物线上两种情况,用三角函数求解即可;(3)分CM为菱形的边和CM为菱形的对角线两种情况,用菱形的性质进行计算即可.

试题解析:(1)抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(2,0),点B(4,0),点D(2,4),

设抛物线解析式为y=a(x+2)(x4),

∴﹣8a=4,

a=

抛物线解析式为y=(x+2)(x4)=x2+x+4;

(2)如图1,

点E在直线CD上方的抛物线上,记E

连接CE,过E作EF′⊥CD,垂足为F

由(1)知,OC=4,

∵∠ACO=ECF

tanACO=tanECF

=

设线段EF=h,则CF=2h,

点E(2h,h+4)

点E在抛物线上,

∴﹣(2h)2+2h+4=h+4,

h=0(舍)h=

E(1,),

点E在直线CD下方的抛物线上,记E,

的方法得,E(3,),

点E的坐标为(1,),(3,

(3)CM为菱形的边,如图2,

在第一象限内取点P,过点

P作PN′∥y轴,交BC于N,过点P作PM′∥BC,

交y轴于M

四边形CMPN是平行四边形,

四边形CMPN是菱形,

PM=PN

过点P作PQ′⊥y轴,垂足为Q

OC=OB,BOC=90°

∴∠OCB=45°

∴∠PMC=45°

设点P(m,m2+m+4),

在RtPMQ中,PQ=m,PM=m,

B(4,0),C(0,4),

直线BC的解析式为y=x+4,

PN′∥y轴,

N(m,m+4),

PN=m2+m+4m+4)=m2+2m,

m=m2+2m,

m=0(舍)或m=42

菱形CMPN的边长为(42)=44.

CM为菱形的对角线,如图3,

在第一象限内抛物线上取点P,过点P作PMBC,

交y轴于点M,连接CP,过点M作MNCP,交BC于N,

四边形CPMN是平行四边形,连接PN交CM于点Q,

四边形CPMN是菱形,

PQCM,PCQ=NCQ,

∵∠OCB=45°

∴∠NCQ=45°

∴∠PCQ=45°

∴∠CPQ=PCQ=45°

PQ=CQ,

设点P(n,n2+n+4),

CQ=n,OQ=n+2,

n+4=n2+n+4,

n=0(舍),

此种情况不存在.

菱形的边长为44.

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