Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．
（1）若E为边OA上的一个动点，是否存在一点E使△CDE的周长取得最小值？若存在，求点E的坐标并证明；若不存在，请说明理由．
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．

Answer 1

分析：（1）由于C、D是定点，则CD是定值，如果△CDE的周长最小，即DE+CE有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点D'，当点E在线段CD′上时，△CDE的周长最小；
（2）由于DC、EF的长为定值，如果四边形CDEF的周长最小，即DE+FC有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，当点E在线段D′G上时，四边形CDEF的周长最小．

解答：解：（1）如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．（1分）
若在边OA上任取点E'（与点E不重合），连接CE'、DE'、D'E'．
由DE'+CE'=D'E'+CE'＞CD'=D'E+CE=DE+CE，（3分）
可知△CDE的周长最小．
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，
∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6．
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BC，（4分）
有

OE

BC

=

D′O

D′B

．
∴OE=

D′O•BC

D′B

=

2×3

6

=1（5分）
∴点E的坐标为（1，0）（6分）

（2）如图，
作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，连接D'G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2（7分）
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF．
又DC、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小（8分）
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG，有

OE

BG

=

D′O

D′B

．
∴OE=

D′O•BG

D′B

=

D′O•(BC-CG)

D′B

=

2×1

6

=

1

3

（9分）
∴OF=OE+EF=

1

3

+2=

7

3

．
∴点E的坐标为（

1

3

，0），点F的坐标为（

7

3

，0）（10分）

点评：此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．