Question

【题目】如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为 ．在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′．
（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是；
（2）设P（t，0），当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】
（1）（4，0）
（2）4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤﹣4
【解析】解：（1.）当点O′与点A重合时
∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后是O′B′．
AP=OP，
∴△AOP′是等边三角形，
∵B（2，0），
∴BO=BP′=2，
∴点P的坐标是（4，0），
故答案为：（4，0）．
（2.）由（1）知，当P的坐标是（4，0）时，直线OB与双曲线有交点O′，
当B′在双曲线上时，作B′C⊥OP于C，

∵BP=B′P，∠B′BP=60°，
∴△BB′P是等边三角形，
∴BP=B′P=t﹣2，
∴CP= （t﹣2），B′C= （t﹣2），
∴OC=OP﹣CP= t+1，
∴B′的坐标是（ t+1， （t﹣2）），
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB=2 ，
∴A（2，2 ），
∵A和B′都在双曲线上，
∴（ t+1） （t﹣2））=2×2 ，
解得：t=±2 ，
∴t的取值范围是4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤﹣4．
故答案为：4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤﹣4．
（1）当点O′与点A重合时，即点O与点A重合，进一步解直角三角形AOB，利用轴对称的现在解答即可；（2）分别求出O′和B′在双曲线上时，P的坐标即可．