【题目】观察下列等式:(1)13=×12×22;(2)13+23=
×22×32;(3)13+23+33=
×32×42;(4)13+23+33+43=
×42×52;
根据上述等式的规律,解答下列问题:
(1)写出第5个等式:_____;
(2)写出第n个等式(用含有n的代数式表示);
(3)设s是正整数且s≥2,应用你发现的规律,化简:×s2×(s+1)2﹣
×(s﹣1)2×s2.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)根据从1开始的连续整数的立方和等于最后两个整数的平方积的可得;
(2)根据以上规律可得;
(3)利用所得规律将原式变形为13+23+33+43+…+s3-[13+23+33+43+…+(s-1)3],据此计算可得.
(1)第5个等式为13+23+33+43+53=×52×62,
故答案为:13+23+33+43+53=×52×62.
(2)第n个等式为13+23+33+43+…+n3=×n2×(n+1)2;
(3)原式=13+23+33+43+…+s3﹣[13+23+33+43+…+(s﹣1)3],
=13+23+33+43+…+s3﹣13﹣23﹣33﹣43﹣…﹣(s﹣1)3,
=s3.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC.
① 求证:△ABE≌△CBD;
② 若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.
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【题目】△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=90°,AC=BC=2,
(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大?请说明理由.
(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为s1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为s2(如图2),则s2=;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为s3 , 继续操作下去…,则第10次剪取时,s10=;
(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6cm,DE=2cm,则BC= .
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【题目】下列说法:①(﹣2)101+(﹣2)100=﹣2100;②20172+2017一定可以被2018整除;③16.9× +15.1×
能被4整除;④两个连续奇数的平方差是8的倍数.其中说法正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】阅读下面的情景对话,然后解答问题:
(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是奇异三角形,求a:b:c;
(3)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点(不与点A、B重合),D是半圆 的中点,C、D在直径AB的两侧,若在⊙O内存在点E,使AE=AD,CB=CE. ①求证:△ACE是奇异三角形;
②当△ACE是直角三角形时,求∠AOC的度数.
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【题目】如图,将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中,B(2,0),∠AOB=60°,点A在第一象限,过点A的双曲线为 .在x轴上取一点P,过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.
(1)当点O′与点A重合时,点P的坐标是;
(2)设P(t,0),当O′B′与双曲线有交点时,t的取值范围是 .
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【题目】如图,点 A,O,B 在同一条直线上,OD,OE 分别平分∠AOC 和∠BOC.
(1)求∠DOE 的度数;
(2)如果∠COD=65°,求∠AOE 的度数.
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【题目】在东营市中小学标准化建设工程中,某学校计划购进一批电脑和电子白板,经过市场考察得知,购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元,购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.
(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元?
(2)根据学校实际,需购进电脑和电子白板共30台,总费用不超过30万元,但不低于28万元,请你通过计算求出有几种购买方案,哪种方案费用最低.
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