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    已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(-2，0)，点B坐标为 （0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x2+mx+n的图象经过A，C两点.

    （1） 求此抛物线的函数表达式；

    （2） 求证：∠BEF=∠AOE；

    （3） 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；

    （4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

    解：（1） 如答图①， ∵A （-2， 0）  B （0， 2）

    ∴OA=OB=2 ∴AB2=OA2+OB2=22+22=8∴AB=2∵OC=AB∴OC=2， 即C （0， 2）

    又∵抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点  则可得解得：∴抛物线的表达式为y=-x2-x+2

    （2） ∵OA=OB  ∠AOB=90° ∴∠BAO=∠ABO=45°

    又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE

    ∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ∴∠BEF=∠AOE

    （3） 当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论

    ①当OE=OF时， ∠OFE=∠OEF=45°

    在△EOF中， ∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°

    又∵∠AOB＝90°

    则此时点E与点A重合， 不符合题意， 此种情况不成立.

    ②如答图②， 当FE=FO时，

    ∠EOF=∠OEF=45°

    在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°

    ∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°∴EF∥AO ∴ ∠BEF=∠BAO=45° 又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°∴∠BEF=∠ABO ∴BF=EF∴EF=BF=OF=OB=×2＝1 ∴ E(-1， 1)

    ③如答图③， 当EO=EF时， 过点E作EH⊥y轴于点H  在△AOE和△BEF中，

    ∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF  ∴△AOE≌△BEF ∴BE=AO=2

    ∵EH⊥OB ∴∠EHB=90°∴∠AOB=∠EHB  ∴EH∥AO ∴∠BEH=∠BAO=45°

    在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45°  ∴EH=BH=BEcos45°=2×=

    ∴OH=OB-BH=2- 2∴ E(-， 2-)

    综上所述， 当△EOF为等腰三角形时， 所求E点坐标为E(-1， 1)或E(-， 2- 2)

    （4） P(0， 2)或P （-1， 2 ）

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    如图，在平面直角坐标系中，原点O处有一乒乓球发射器向空中发射乒乓球，乒乓球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点落在X轴上为点B．有人在线段OB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让乒乓球落入桶内．已知OB=4米，OC=3米，乒乓球飞行最大高度MN=5米，圆柱形桶的直径为0.5，高为0.3米（乒乓球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
    （1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
    （2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
    （3）当竖直摆放圆柱形桶
    8，9，10，11或12
    8，9，10，11或12
    个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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    （1）求点C的坐标；
    （2）如图1，平行于y轴的直线x=1交直线l1于点E，交直线l2于点D，平行于y轴的直x=a交直线l1于点M，交直线l2于点N，若MN=2ED，求a的值；
    （3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源：2012届重庆万州区岩口复兴学校九年级下第一次月考数学试卷（带解析） 题型：解答题

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    （1）求出点C的坐标；
    （2）在这一运动过程中, 四边形OPEM是什么四边形？请说明理由。若
    用y表示四边形OPEM的面积 ，直接写出y关于t的函数关系式及t的
    范围；并求出当四边形OPEM的面积y的最大值？
    （3）在整个运动过程中，是否存在某个t值，使⊿MPB为等腰三角形？
    若有，请求出所有满足要求的t值.

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    科目：初中数学 来源：2013年浙江省湖州市中考数学模拟试卷（十一）（解析版） 题型：解答题

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    （1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
    （2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
    （3）当竖直摆放圆柱形桶______个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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