Question

菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=4，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S₁，未被盖住部分的面积为S₂，BP=x．

（1）用含x的代数式分别表示S₁，S₂；

（2）若S₁=S₂，求x的值．

Answer 1

 解：（1）①当点P在BO上，0＜x≤2时，如图1所示．

∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=4，

∴AC⊥BD，BO=BD=2，AO=AC=2，

且S_菱形ABCD=BD•AC=8．

∴tan∠ABO==．

∴∠ABO=60°．

在Rt△BFP中，

∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x，

∴sin∠FBP===sin60°=．

∴FP=x．

∴BF=．

∵四边形PFBG关于BD对称，

四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，

∴S_△BFP=S_△BGP=S_△DEQ=S_△DHQ．

∴S₁=4S_△BFP

=4××x•

=．

∴S₂=8﹣．

②当点P在OD上，2＜x≤4时，如图2所示．

∵AB=4，BF=，

∴AF=AB﹣BF=4﹣．

在Rt△AFM中，

∵∠AFM=90°，∠FAM=30°，AF=4﹣．

∴tan∠FAM==tan30°=．

∴FM=（4﹣）．

∴S_△AFM=AF•FM

=（4﹣）•（4﹣）

=（4﹣）²．

∵四边形PFBG关于BD对称，

四边形QEDH与四边形FPBG关于AC对称，

∴S_△AFM=S_△AEM=S_△CHN=S_△CGN．

∴S₂=4S_△AFM

=4×（4﹣）²

=（x﹣8）²．

∴S₁=8﹣S₂=8﹣（x﹣8）²．

综上所述：

当0＜x≤2时，S₁=，S₂=8﹣；

当2＜x≤4时，S₁=8﹣（x﹣8）²，S₂=（x﹣8）²．

 

（2）①当点P在BO上时，0＜x≤2．

∵S₁=S₂，S₁+S₂=8，

∴S₁=4．

∴S₁==4．

解得：x₁=2，x₂=﹣2．

∵2＞2，﹣2＜0，

∴当点P在BO上时，S₁=S₂的情况不存在．

②当点P在OD上时，2＜x≤4．

∵S₁=S₂，S₁+S₂=8，

∴S₂=4．

∴S₂=（x﹣8）²=4．

解得：x₁=8+2，x₂=8﹣2．

∵8+2＞4，2＜8﹣2＜4，

∴x=8﹣2．

综上所述：若S₁=S₂，则x的值为8﹣2．