Question

【题目】如图,四边形ABCD中,∠ABC、∠ADC的平分线分別交CD、AB上点E、F.

(1)若∠ABC=∠ADC,求征:∠ADF=∠ABE;

(2)如图，若∠A与∠C互朴，试探究∠ADF与∠ABE之同的数量夫系，并说明理由;

(3)如图,在(2)的条件下，当DA⊥AB时，试探究BE与DF的位置关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠ADF+∠ABE=90°，见解析；（3）DF∥BE，见解析．

【解析】

（1）由角平分线知∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠ABC，结合∠ABC=∠ADC可得答案；
（2）由∠A+∠C=180°知∠ADC+∠ABC=180°，结合∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠ABC，得∠ADF+∠ABE=（∠ADC+∠ABC）可得答案；
（3）根据四边形内角和得到∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线定义得到∠ABE=∠ABC，∠ADF=∠ADC，则∠ABE+∠ADF=90°，加上∠AFD+∠ADF=90°，利用等角的余角相等得∠AFD=∠ABE，然后根据平行线的判定定理得到DF∥BE．

解：（1）∵DF平分∠ADC，BE平分∠ABC，
∴∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠ABC，
又∠ABC=∠ADC，
∴∠ADF=∠ABE；
（2）∵∠A+∠C=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
又∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠ABC，
∴∠ADF+∠ABE=（∠ADC+∠ABC）=90°；
（3）DF与BE平行．
理由如下：
∵DA⊥AB，
∴在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC、∠ADC的平分线分别与CD、AB相交于点E、F．
∴∠ABE=∠ABC，∠ADF=∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF=90°，
而∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠ABE，
∴DF∥BE．

故答案为：（1）见解析；（2）∠ADF+∠ABE=90°，见解析；（3）DF∥BE，见解析．