Question

计算[

2012+ 2012+ 2012+…+ 2012

]的值．其中，2012共出现了2012次，[x]表示不超过实数x的最大整数．

Answer 1

考点：取整计算,算术平方根,不等式的性质

专题：计算题

分析：为了方便起见，设x_n=

2012+ 2012+ 2012+…+ 2012

，其中2012共出现了n次，n为正整数．易得44＜x₁＜45，由于x₂=

2012+x1

，根据不等式的性质可推出45＜x₂＜46；用同样的方法，由45＜x₂＜46可以推出45＜x₃＜46；以此类推，可以得到；当n≥2时，45＜x_n＜46，从而有[x_n]=45，故原式=[x₂₀₁₂]=45．

解答：解：设x_n=

2012+ 2012+ 2012+…+ 2012

，其中2012共出现了n次，n为正整数．
当n=1时，x₁=

2012

．
∵44=

1936

＜

2012

＜

2025

=45，
∴44＜x₁＜45．
当n=2时，x₂=

2012+x1

．
∵44＜x₁＜45，
∴45=

2025

＜

2012+44

＜x₂＜

2012+45

＜

2116

=46．
∴45＜x₂＜46．
当n=3时，x₃=

2012+x2

．
∵45＜x₂＜46，
∴45=

2025

＜

2012+45

＜x₃＜

2012+46

＜

2116

=46．
∴45＜x₃＜46．
∴由45＜x₂＜46可以推出45＜x₃＜46．
同理可得：
由45＜x₃＜46可以推出45＜x₄＜46；
由45＜x₄＜46可以推出45＜x₅＜46；
由45＜x₅＜46可以推出45＜x₆＜46；
…
由45＜x_n-1＜46可以推出45＜x_n＜46．（n≥4）
∴当n≥2时，45＜x_n＜46，此时[x_n]=45．
∴原式=[x₂₀₁₂]=45．

点评：本题考查了不等式的性质、算术平方根等知识，并注重对类比、归纳等推理能力的考查，而通过类比、归纳得出“当n≥2时，45＜x_n＜46，则[x_n]=45”是解决本题的关键．