Question

11．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=∠C=90°，点E在DC上，且AE，BE分别平分
∠BAD和∠ABC，过点E作EF⊥AB于F．
（1）求证：△ADE≌△AFE；
（2）求证：DE=EC；
（3）当AD=2，BC=3时，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）求出∠AFE=∠D=90°，∠DAE=∠EAF，根据AAS推出即可；
（2）根据AAS推出△BFE≌△BCE，根据全等三角形的性质求出CE=EF，DE=EF，即可得出答案；
（3）延长AE，交BC延长线于M，根据平行线性质求出∠D=∠ECM，根据ASA推出△ADE≌△MCE，求出AD=CM=2，求出AB=BM即可．

解答 （1）证明：∵EF⊥AB，∠D=90°，
∴∠AFE=∠D=90°，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠EAF，
在△ADE与△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AFE}\\{∠DAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AFE（AAS）；

（2）证明：∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵EF⊥AB，∠C=90°，
∴∠BFE=∠C=90°，
在△BFE与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFE=∠BCE}\\{∠FBE=∠CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△BCE（AAS），
∴EF=EC
又∵△ADE≌△AFE，
∴EF=DE，
∴DE=EC；
（3）解：延长AE，交BC延长线于M，

∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECM，
在△ADE和△MCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECM}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠CEM}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△MCE（ASA），
∴AD=CM=2，
∴BM=BC+CM=3+2=5，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠M，
∴∠EAB=∠M，
∴AB=BM=5．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，能根据全等三角形的性质求出DE=EC是解此题的关键，题目比较好，难度适中