Question

19．阅读材料题：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根，那么x₁+x₂=$-\frac{b}{a}$，${x_1}．{x_2}=\frac{c}{a}$．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以来计算某些代数式的值．
例：x₁，x₂是方程x²+6x-3=0的两个根，求$x_1^2+x_2^2$的值．
可以这样求解：∵x₁+x₂=-6，x₁x₂=-3，
∴$x_1^2+x_2^2$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-6）²-2×（-3）=42
请你根据以上解答完成下列问题：
已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的两根，分别求下列代数式的值．
（1）（x₁+1）（x₂+1）的值；       
（2）$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值；       
（3）x₁x${\;}_{2}^{2}$+x${\;}_{1}^{2}$x₂的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，根据（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+（x₁+x₂）+1代入数值计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，欲求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值，根据$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$代入数值计算即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，欲求x₁x${\;}_{2}^{2}$+x${\;}_{1}^{2}$x₂的值，根据x₁x${\;}_{2}^{2}$+x${\;}_{1}^{2}$x₂=x₁x₂（x₁+x₂）代入数值计算即可．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²-4x+2=0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=2，
∴（1）（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+（x₁+x₂）+1=2+4+1=7；
（2）$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=2，；
（3）x₁x${\;}_{2}^{2}$+x${\;}_{1}^{2}$x₂=x₁x₂（x₁+x₂）=2×4=8．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．