Question

如图，正方形ABCD中，AC=AF，AF交CD于E，DF∥AC．求证：CF=CE．

Answer 1

考点：正方形的性质,等腰三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形

专题：证明题

分析：把△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，从而可得B、G、D三点在同一条直线上，然后可以证明△AGB与△CGB全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，所以△AGC为等边三角形，根据等边三角形的性质可以推出∠CEF=∠CFE=75°，从而得解．

解答：证明：如图所示，顺时针旋转△ADE90°得到△ABG，连接CG．
∵∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°，
∴B，G，D在一条直线上，
∴∠ABG=∠CBG=180°-45°=135°，
在△AGB与△CGB中，

AB=BC ∠ABG=∠CBG BG=BG

，
∴△AGB≌△CGB（SAS），
∴AG=AC=GC=AE，
∴△AGC为等边三角形，
∵AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），
∴∠AGB=30°，
∴∠EAC=30°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=（180°-30°）÷2=75°，
又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°，
∴CE=CF．

点评：本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定，以及旋转变换的性质，根据旋转变换构造出图形是解题的关键．