Question

19．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，AB=AD+BC．求证：BE⊥AE．

Answer 1

分析 由题意，延长AE、BC交于点F，由AD∥BC，得∠DAE=∠CFE，然后，通过证明△ADE≌△CFE，由AB=BC+AD=BC+FC=BF得出△ABF为等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一，即可证得．

解答 解：如图，延长AE、BC交于点F，

∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠CFE，
∠ECF=∠EDA
∵点E是CD的边中点，
∴DE=CE，
∴△ECF≌△EDA（AAS），
∴AD=FC，AE=FE
∵AB=BC+AD，BF=BC+FC
∴AB=BF
即三角形ABF为等腰三角形，又AE=FE
故由等腰三角形三线合一得AF⊥BE
∴BE⊥AE．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．