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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+（m+1）x+3m与直线y=-x+3交于A、C两点；点P从原点O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，过P作x轴的垂线，交抛物线于D，交AC于精英家教网E，设点P运动的时间为x（秒），四边形AOCD的面积为S．
    （1）求点A、C的坐标，并求此抛物线的解析式；
    （2）求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值；
    （3）探究：是否存在点P，使直线AC把△PCD分成面积之比为2：1的两部分？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据一次函数的解析式y=-x+3分别令x=0，y=0即可求出A，B的坐标．把A或B点的坐标代入抛物线的解析式即可求出m的值，从而求出其解析式．
    （2）根据（1）中所求抛物线的解析式设出D点坐标，由A，C，D三点的坐标即可求出S关于x的函数关系式，根据二次函数的顶点坐标公式即可求出S的最大值．
    （3）因为不明确△CDE与△CPE面积的大小，故应分两种情况讨论：
    ①当△CDE与△CEP的面积之比为2：1时，因为两三角形的高相同，所以DE：EP=2：1，即DP=3EP，设P点坐标为（x，0），则D点坐标为（x，-x2+2x+3），由于OA=OB，所以PC=EP，根据P，D两点的坐标即可求出DP与EP的函数关系式，进而求出P点坐标．
    ②当△CEP与△CDE的面积之比为2：1时，则DE=2EP，同①可求出DP与EP的函数关系式，进而求出P点坐标．
    解答：精英家教网（1）根据一次函数的解析式y=-x+3分别令x=0，则y=3；
    令y=0则x=3，
    故A（0，3），C（3，0），
    把A（0，3）代入抛物线的解析式
    得3m=3，m=1，
    ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

    （2）∵m=1
    ∴y=-x2+2x+3，
    ∴AO=3，
    点D（x，-x2+2x+3），连接OD，
    ∵OC=3，
    ∴S=S△AOD+S△DOC=
    1
    2
    ×3x+
    1
    2
    ×（-x2+2x+3）=-
    3
    2
    x2+
    9
    2
    x+
    9
    2
    ，
    ∴S与x的函数关系式S=-
    3
    2
    x2+
    9
    2
    x+
    9
    2
    （0＜x＜3），
    当x=-
    b
    2a
    =
    3
    2
    符合（0＜x＜3），
    S最大值=
    4ac-b2
    4a
    =
    4×(-
    3
    2
    ×
    9
    2
    -(
    9
    2
    )    2    )
    4×(-
    3
    2
    )
    =
    63
    8
    ，

    （3）∵OA=OC=3，
    ∴△AOC为等腰Rt△，
    ∴∠ECP=45°，
    ∴EP=PC=3-x，
    假设存在点P，使AC把△PCD分成面积之比为2：1的两部分，分两种情况讨论：
    （ⅰ）当△CDE与△CEP的面积之比为2：1时，DE=2EP，
    ∴DP=3EP，
    即-x2+2x+3=3（-x+3）
    整理得：x2-5x+6=0，
    解得；x1=2x2=3（不合题意，舍去），
    此时点P的坐标是（2，0）；
    （ⅱ）当△CEP与△CDE的面积之比为2：1时，DE=
    1
    2
    EP，
    ∴DP=
    3
    2
    EP，
    即-x2+2x+3=
    3
    2
    （-x+3），
    整理得：2x2-7x+3=0，
    解得：x3=
    1
    2
    ，x4=3（不合题意，舍去），
    此时点P的坐标是（
    1
    2
    ，0），
    综上所述，使直线AC把△PCD分成面积之比为2：1两部分的点P存在，点P的坐标是（2，0）或（
    1
    2
    ，0）．
    点评：此题是典型的动点问题，把面积的最值问题问题转化成二次函数最值的问题解答．
    （3）是一道结论开放性题目，考查了同学们的发散思维能力，解答时要进行分类讨论．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
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    k
    x
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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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