Question

2．已知△ABC，∠ABC的平分线BD，∠ACB的平分线CE交于点O，过点O作FO⊥OC，OF交BC于F，连接AO．
（1）如图1，求证：∠AOB=∠BFO；
（2）如图2，当∠BAC=90°时，若OD=$\frac{1}{3}$BO，请你探究线段OA和OE的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质得出∠AOB=90$°+\frac{1}{2}∠$ACB，∠BFO=90$°+\frac{1}{2}∠$ACB，从而证得∠AOB=∠BFO；
（2）作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H，根据角平分线的性质得出OG=OH，进而根据等角的余角相等证得∠OEG=∠OFH，即可证得△OGE≌△OHF，得出OE=OF，由OA是角平分线证得△AGO是等腰直角三角形，根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{BG}{AG}$=$\frac{BO}{OD}$=$\frac{3}{1}$，设AG=OG=x，则BG=3x，AB=4x，根据勾股定理求得BO=$\sqrt{A{G}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，然后根据△ABO∽△OBF，对应边成比例证得OA=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$OE．

解答 解：（1）如图1，∵∠ABC的平分线BD，∠ACB的平分线CE交于点O，
∴AO平分∠BAC，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠BAO=$\frac{1}{2}∠$BAC，
∵∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC，
∴∠AOB=180°-$\frac{1}{2}∠$ABC-$\frac{1}{2}$BAC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）=90$°+\frac{1}{2}∠$ACB，
∵FO⊥OC，
∴∠FOC=90°，
∵∠BFO=∠FOC+∠OCF，∠OCF=$\frac{1}{2}∠$ACB，
∴∠BFO=90$°+\frac{1}{2}∠$ACB，
∴∠AOB=∠BFO；
（2）如图2，作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，
∴OG=OH，
∵∠BAC=90，FO⊥OC，
∴∠ACE+∠AEC=90°，∠BCE+∠OFC=90°，
∵∠ACE=∠BCE，
∴∠AEC=∠OFC，
在△OGE和△OHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OGE=∠OHF=90°}\\{∠GEO=∠HFO}\\{OG=OH}\end{array}\right.$，
∴△OGE≌△OHF（AAS），
∴OE=OF，
∵OG⊥AB，∠BAC=90°，
∴OG∥AC，
∴$\frac{BG}{AG}$=$\frac{BO}{OD}$=$\frac{3}{1}$，
∵OA平分∠BAC，
∴∠GAO=45°，
∴△GAO是等腰直角三角形，
∴AG=OG，
设AG=OG=x，则BG=3x，AB=4x，
∴BO=$\sqrt{A{G}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
由（1）可知：∠AOB=∠BFO，
∵∠ABO=∠OBF，
∴△ABO∽△OBF，
∴$\frac{AO}{OF}$=$\frac{AB}{OB}$=$\frac{4x}{\sqrt{10}x}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$，
∴OA=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$OF=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$OE．

点评 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理以及勾股定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键．