Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AH⊥DC于H，CP⊥BD于P，CP延长线分别交AH、AD于E、F，DB平分∠ABC，HE=BP．
（1）若BC=10，AD=8，AH=3

7

，求HC长；
（2）若AB=AE，求证：EH=

1

2

DC．

Answer 1

考点：梯形,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）在直角三角形中，根据勾股定理即可求得DH的长度，即可求得HC的长；
（2）可以证明∠ECB=30，根据直角三角形中30°角对应边为斜边一半可以解题．

解答：解：（1）∵AB∥DC，
∴∠ABD=∠CDB，
∵DB平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴DC=BC=10，
∵AD=8，AH=3

7

，AH⊥DC，
∴DH=

AD2-AH2

=1，
∴HC=DC-DH=10-1=9；
（2）连接BE、ED，

∵DC=BC，CP⊥BD，
∴BP=DP，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠ECB=2∠FBP，∠ABD=∠EBP+45°，∠ABD+∠ECB=90°，
∴∠EBP+45°+2∠FBP=90°，
∴∠FBP=15°，
∴∠ECB=30°，EH=

1

2

CD（30°角所对的直角边是斜边的一半）．

点评：本题考查了梯形上下底平行的性质，考查了勾股定理的运用．