Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；
（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM²＋PB²＋PC²＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数。

Answer 1

（1） （2）直线CD的解析式为 （3）  当P（2，－2）时，直线OP与该抛物线无交点； 
当P（2，）时，直线OP与该抛物线有两交点。 

解析试题分析：（1）∵抛物线y＝ax²＋bx＋3的顶点为M（2，－1），
∴设抛物线的解析式为线。
∵点B（3，0）在抛物线上，∴，解得。
∴该抛物线的解析式为，即。
（2）在中令x=0，得。∴C（0，3）。
∴OB=OC=3。∴∠ABC=45⁰。
  
过点B作BN⊥x轴交CD于点N（如图），
则∠ABC=∠NBC=45⁰。
∵直线CD和直线CA关于直线BC对称，
∴∠ACB=∠NCB。
又∵CB=CB，∴△ACB≌△NCB（ASA）。
∴BN=BA。
∵A，B关于抛物线的对称轴x=2对称，B（3，0），
∴A（1，0）。∴BN=BA=2。∴N（3，2）。
设直线CD的解析式为，
∵C（0，3），N（3，2）在直线CD上，
∴，解得，。
∴直线CD的解析式为。
（3）设P（2，p）。∵M（2，－1），B（3，0），C（0，3），
∴根据勾股定理，得，，
。
∵PM²＋PB²＋PC²＝35，∴。
整理，得，解得。
∴P（2，－2）或（2，）。 
当P（2，－2）时，直线OP与该抛物线无交点； 
当P（2，）时，直线OP与该抛物线有两交点。 
考点：抛物线，全等三角形
点评：本题考查抛物线，全等三角形，解答本题需要考生掌握待定系数法，会用待定系数法求二次函数的解析式，熟悉全等三角形的判定方法，会证明两个三角形全等