Question

【题目】在△ABC与△CDE中，∠ACB∠CDE90°，ACBC，CDED，连接AE，BE，F为AE的中点，连接DF，△CDE绕着点C旋转．

(1)如图1，当点D落在AC上时，DF与BE的数量关系是： ；

(2)如图2，当△CDE旋转到该位置时，DF与BE是否仍具有(1)中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；

(3)如图3，当点E落在线段CB延长线上时，若CDAC2，求DF的长．

Answer 1

【答案】(1)DF=BE；(2)见解析；(3)；

【解析】

（1）证明△ACE≌△BCE，则AE=BE，DF是直角△ADE的中线，DF=AE，即可证明DF=BE；

（2）连接AM，证明△ACM≌△BCE，则AM=BE，DF为△AME的中位线，DF==BE；

（3）易知CD=DE=2，由勾股定理CE=，BE=CE—CB=，DF=BE，可求得DF=．

(1) ∵∠ACB=∠CDE=90°，AC=BC，CD =ED，

∴∠ACE=∠BCE=45°，

∴△ACE≌△BCE，

∴AE=BE，因为DF是直角△ADE的中线，

∴DF=AE

∴DF=BE

(2)如图，将△CDE沿着CD翻折，得到△DCM≌△DCE，连接AM，

由△CDE为等腰直角三角形易知△CME为等腰直角三角形，

在△ACM和△BCE中，

AC=BC，∠ACM=∠BCE ，CM=CE，

∴△ACM≌△BCE，

∴AM=BE

∵F为AE的中点，D为ME的中点

∴DF为△AME的中位线，

∴DF=，

∴DF=BE．

(3)将△EDC沿DC翻折得到△DCM

CD=DE=2，由勾股定理可知CE=

BE=CE—CB=

由前面的结论可知：DF=BE

∴DF=．