Question

【题目】如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（　　）

①∠1＝∠2；

②∠3＝∠4；

③GD＝CM；

④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．

A.①②③④B.①②C.③④D.①②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①正确．如图1中，过点B作BK⊥GH于K．想办法证明Rt△BHK≌Rt△BHC（HL）可得结论．

②正确．分别证明∠GBH=45°，∠4=45°即可解决问题．

③正确．如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．首先证明MG=MD，再证明△BTM≌△MWG（AAS），推出MT=WG可得结论．

④正确．求出BT=2，TM=1，利用勾股定理即可判断．

解：如图1中，过点B作BK⊥GH于K．

∵B，G关于EF对称，

∴EB＝EG，

∴∠EBG＝∠EGB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，

∴∠AGB＝∠EBG，

∴∠AGB＝∠BGK，

∵∠A＝∠BKG＝90°，BG＝BG，

∴△BAG≌△BKG（AAS），

∴BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG，

∵∠BKH＝∠BCH＝90°，BH＝BH，

∴Rt△BHK≌Rt△BHC（HL），

∴∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，故①正确，

∴∠GBH＝∠GBK+∠HBK＝∠ABC＝45°，

过点M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R．

∵∠1＝∠2，

∴MQ＝MP，

∵∠MEQ＝∠MER，

∴MQ＝MR，

∴MP＝MR，

∴∠4＝∠MCP＝∠BCD＝45°，

∴∠GBH＝∠4，故②正确，

如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．

∵B，G关于EF对称，

∴BM＝MG，

∵CB＝CD，∠4＝∠MCD，CM＝CM，

∴△MCB≌△MCD（SAS），

∴BM＝DM，

∴MG＝MD，

∵MW⊥DG，

∴WG＝WD，

∵∠BTM＝∠MWG＝∠BMG＝90°，

∴∠BMT+∠GMW＝90°，

∵∠GMW+∠MGW＝90°，

∴∠BMT＝∠MGW，

∵MB＝MG，

∴△BTM≌△MWG（AAS），

∴MT＝WG，

∵MC＝TM，DG＝2WG，

∴DG＝CM，故③正确，

∵AG＝1，DG＝2，

∴AD＝AB＝TM＝3，EM＝WD＝TM＝1，BT＝AW＝2，

∴BM＝，故④正确，

故选：A．