Question

10．如图，已知点O到△ABC的两边AB、AC的距离分别是OD、OE，且OD=OE，OB=OC．
（1）如图1，若点O在BC边上，补全图形并求证：AB=AC；
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，补全图形并求证：AB=AC．

Answer 1

分析 （1）先利用HL证明△OBD和△OCE全等，根据全等三角形对应角相等得到∠B=∠C，再根据等角对等边的性质即可得到AB=AC；
（2）先利用HL证明△OBD和△OCE全等，根据全等三角形对应角相等得到∠OBD=∠OCE，再由等腰三角形的性质得出∠OBC=∠OCB，证出∠ABC=∠ACB，即可得出结论．

解答 （1）证明：如图1所示：
∵OD⊥AB，OE⊥AC，E，F分别是垂足，
∴∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△OBD和Rt△OCE中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OD=OE}\end{array}\right.$，
∴Rt△OBD≌Rt△OCE（HL），
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等），
∴AB=AC（等角对等边）；
（2）证明：如图2所示：
∵OD⊥AB，OE⊥AC，E，F分别是垂足，
∴∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△OBD和Rt△OCE中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OD=OE}\end{array}\right.$，
∴Rt△OBD≌Rt△OCE（HL），
∴∠OBD=∠OCE（全等三角形的对应角相等），
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠OCF+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的判定与性质，等角对等边的性质，熟练掌握性质作出辅助线是解题的关键．