Question

如图，一段抛物线：y=-x（x-4）（0≤x≤4），记为C₁，它与x轴交于点O，A₁；将C₂绕点A₂；…如此进行下去，得到一条连续的曲线，若P（2013，m）在这条曲线上，则m的值为（　　）

• A、4
• B、3
• C、-4
• D、-3

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：规律型

分析：根据抛物线与x轴的交点问题，得到图象C₁与x轴交点坐标为：（0，0），（4，0），再利用旋转的性质得到图象C₂与x轴交点坐标为：（4，0），（8，0），则抛物线C₂：y=（x-4）（x-8）（4≤x≤8），于是可推出抛物线C₅₀₄：y=（x-4×503）（x-4×504）（2012≤x≤2016），由于2013=4×503+1，则可判断P（2013，m）在抛物线y=（x-4×503）（x-504）（2012≤x≤2016）上，然后根据二次函数图象上点的坐标特征计算m的值．

解答：解：∵一段抛物线C₁：y=-x（x-4）（0≤x≤4），
∴图象C₁与x轴交点坐标为：（0，0），（4，0），
∵将C₁绕点A₁旋转180°得C₂，交x轴于点A₂；，
∴抛物线C₂：y=（x-4）（x-8）（4≤x≤8），
将C₂绕点A₂旋转180°得C₃，交x轴于点A₃；
…
如此进行下去，
∴抛物线C₅₀₄：y=（x-4×503）（x-4×504）（2012≤x≤2016），
∵2013=4×503+1，
∴P（2013，m）在抛物线y=（x-4×503）（x-504）（2012≤x≤2016）上，
∴当x=2013时，m=（2013-2012）（2013-2016）=-3．
故选D．

点评：本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．