Question

已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与C、D重合，CP=b，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF．

观察计算：
（1）如图1，当a=4，b=1时，四边形ABFD的面积为______；
（2）如图2，当a=4，b=2时，四边形ABFD的面积为______；
（3）如图3，当a=4，b=3时，四边形ABFD的面积为______；
探索发现：
（4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？证明你的结论；
综合应用：
（5）农民赵大伯有一块正方形的土地（如图5），由于修路被占去一块三角形的地方△BCE，但决定在DE的右侧补给赵大伯一块土地，补偿后的土地为四边形ABMD，且四边形ABMD的面积与原来正方形土地的面积相等，M、E、B三点要在一条直线上，请你画图说明，如何确定M点的位置．

Answer 1

解：（1）4×4+（1+4）×1÷2-1×5÷2=16；
（2）4×4+（2+4）×2÷2-2×6÷2=16；
（3）4×4+（3+4）×3÷2-3×7÷2=16；
（4）无论点P在CD边上的什么位置，四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积相等，与正方形PCEF的边长无关．
证明：连接BD，CF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，
同理∠FCE=45°，
∴BD∥CF，
∴S_△BCD=S_△BDF，
∴四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积相等；
（5）如图5，作BC的延长线CN，作∠DCN的角平分线交BE的延长线于点M，则四边形ABMD的面积与正方形ABCD的面积相等，点M即为所求．

分析：四边形ABFD的面积=梯形CDFE的面积+正方形ABCD的面积-△BFE的面积（1），（2），（3）直接把相关数值代入即可求解；
（4）由（1），（2），（3）可推断出一般结论：四边形ABFD的面积=正方形ABCD的面积；利用同底等高的三角形的面积相等，可得S_△BCD=S_△BDF，那么可求得结论；
（5）仿照前面得到的结论，利用正方形的对角线平分一组对角的性质作出大正方形外部，小正方形一个内角的平分线，与BE的交点即为点M．
点评：本题考查的知识点为：两条平行线间的距离相等；同底等高的三角形的面积相等；由具体到一般再到应用是数学真正的作用．