[题目]我们学习了“圆心角.弧.弦的关系 .实际上我们还可以得到“圆心角.弧.弦.弦心距之间的关系如下:在同圆或等圆中.如果两个圆心角.两条弧.两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离.如图1中的OC.OC′.弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等.那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角.弧.弦.弦心距之间的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】我们学习了“圆心角、弧、弦的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC、OC′，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：

如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B、C、D.

(1)求证：AB＝CD；

(2)若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．

【答案】（1）证明见解析；（2）上述结论成立．

【解析】试题分析：（1）过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，根据角平分线性质得出ON=OM，再根据题中定义即可得出答案；（2）方法同（1）．

解：(1)过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则∠OMB＝∠OND＝90°.

又∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.

∵OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，

∴AB＝CD.

(2)上述结论成立．

当点P在⊙O上时，由(1)知OM＝ON，

∵OM、ON分别是弦PB、PD的弦心距，

∴PB＝PD，即AB＝CD.

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