Question

【题目】如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结BE、CE．

（1）若a=5，sin∠ACB=，求b．

（2）若a=5，b=10当BE⊥AC时，求出此时AE的长．

（3）设AE=x，试探索点E在线段AD上运动过程中，使得△ABE与△BCE相似时，求a、b应满足什么条件，并求出此时x的值．

Answer 1

【答案】（1）b=12；（2）；（3）当a、b满足条件b=2a时△BAE∽△CEB，此时（或x=a）；当a、b满足条件b＞2a时△BAE∽△CEB，此时．

【解析】

试题分析：（1）①在矩形ABCD中，得到∠ABC=90°，解直角三角形即可得到结果；

（2）由BE⊥A，得到∠2+∠3=90°，由于∠1+∠3=90°，等量代换得到∠1=∠2，推出△AEB∽△BAC，得到比例式，即可得到结论；

（3）点E在线段AD上的任一点，且不与A、D重合，当△ABE与△BCE相似时，则∠BEC=90°当△BAE∽△CEB（如图2），∠1=∠BCE，又BC∥AD，由平行线的性质得到∠2=∠BCE，推出△BAE∽△EDC，得到比例式，进而可得得到一元二次方程x2﹣bx+a2=0，根据方程根的情况，得到结论．

解：（1）

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∵AB=a=5，sin∠ACB=，

∴，

∴AC=13，

∴BC==12，

∴b=12；

（2）如图1，

∵BE⊥AC，

∴∠2+∠3=90°，

又∠1+∠3=90°，

∴∠1=∠2，

又∠BAE=∠ABC=90°，

∴△AEB∽△BAC，

∴，

即，

∴；

（3）∵点E在线段AD上的任一点，且不与A、D重合，

∴当△ABE与△BCE相似时，则∠BEC=90°

所以当△BAE∽△CEB（如图2）

则∠1=∠BCE，

又BC∥AD，

∴∠2=∠BCE，

∴∠1=∠2，

又∠BAE=∠EDC=90°，

∴△BAE∽△EDC，

∴，

即，

∴x2﹣bx+a2=0，

即，

当b2﹣4a2≥0，

∵a＞0，b＞0，

∴b≥2a，

即b≥2a时，，

综上所述：当a、b满足条件b=2a时△BAE∽△CEB，此时（或x=a）；

当a、b满足条件b＞2a时△BAE∽△CEB，此时．