Question

【题目】如图，已知是圆的直径，是圆上一点，的平分线交于点，交的切线于点，过点作，交的延长线于点.

（1）求证：是的切线；

（2）若，，

①求的值；②若点为上一点，求最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②的最小值为3

【解析】

（1）根据切线的判定，连接过切点E的半径OE，利用等腰三角形和平行线性质即能证得OE⊥DE．

（2）①观察DE所在的△ADE与CE所在的△BCE的关系，由等角的余角相等易证△ADE∽△BEC，即得的值．②先利用的值和相似求出圆的直径，发现∠BAC=30°；利用30°所对直角边等于斜边一半，给EG构造以EG为斜边且有30°的直角三角形，把EG转化到EP，再从P出发构造PQ=OG，最终得到三点成一直线时线段和最短的模型．

（1）证明：连接

，

，

平分

，

，

，

，

，

，

，

是的切线

（2）①连接

是直径

，

， ，

是的切线，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

②过点作于，过点作交于，过点作交于

，四边形是平行四边形

，

.

设，

，

，

，

，

即

解得：，（舍去）

，，

，

，

，

，

，

当、、在同一直线上（即、重合）时，最短，

，

的最小值为3.