Question

10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，BD⊥OA，且OA•BD=$\frac{9}{2}$，则k的值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 过点C作CE⊥OA于点E，设C（x，y），所以CE=y，OE=x，利用中位线的性质可求出点B的坐标为（2x-$\frac{9}{4y}$，2y），由于点B，C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，从而列出方程：（2x-$\frac{9}{4y}$）•2y=xy，解出xy的值即可求出k的值．

解答 解：过点C作CE⊥OA于点E，
设C（x，y）
∴CE=y，OE=x，
∵CE∥BD，点C是AB的中点，
∴CE是△ABD的中位线，
∴BD=2CE=2y，
∵OA•BD=$\frac{9}{2}$，
∴OA=$\frac{9}{4y}$，
∴AE=OA-OE=$\frac{9}{4y}-x$，
∴DE=AE=$\frac{9}{4y}-x$，
∴OD=OE-DE=x-（$\frac{9}{4y}-x$）=2x-$\frac{9}{4y}$
∴点B的坐标为（2x-$\frac{9}{4y}$，2y），
由于点B，C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴（2x-$\frac{9}{4y}$）•2y=xy，
∴解得：xy=$\frac{3}{2}$，
∴k=xy=$\frac{3}{2}$
故答案为：$\frac{3}{2}$

点评 本题考查反比例函数的综合问题，涉及中位线的性质，反比例函数图象的性质，解方程等知识，属于中等题型．