Question

【题目】如图：已知线段a、b

（1）求作一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为b．（尺规作图，只保留作图痕迹）

（2）小明由此想到一个命题：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，请你判断这个命题的真假，如果是真命题请证明；如果是假命题请举出反例．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）真命题，证明见解析．

【解析】分析：（1）分别以B、C为圆心，大于BC为半径画弧，分别相交，作出BC的垂直平分线，再以D为圆心h长为半径画弧，交垂直平分线于点A，连接AB、AC即可．

（2）作出图形，连接AD，由AB=AC，D为BC中点，利用等腰三角形的“三线合一”性质得到AD为顶角的平分线，由DE与AB垂直，DF与AC垂直，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到DE=DF，得证．

详解：（1）如图所示：

（2）真命题．已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB于，ED⊥AC于F，

求证：DE=DF．

证明：连接AD，

∵AB=AC，D是BC中点，

∴AD为∠BAC的角平分线（三线合一的性质），

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边相等）．