Question

【题目】已知抛物线与x轴交点A(1,0),B(-3,0) .与y轴交点B(0,3),如图1所示，D为抛物线的顶点。

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1若R为y轴上的一个动点，连接AR，则RB+AR的最小值为

（3）在x轴上取一动点P（m,0），，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线、CD、CB于点Q、F、E，如图2所示,求证EF=EP.

（4）设此抛物线的对称轴为直线MN，在直线MN上取一点T，使∠BTN=∠CTN.直接写出点T的坐标。

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为；

（2）；

（3）， ， ，证明见解析.

（4）T的坐标（-1，6）

【解析】分析：（1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）由 RB+AR的值最小，可知RB为等腰直角三角形的斜边长，当AR与等腰直角三角形的一边在一条直线上时， RB+AR最短，从而求解.

（1）

（2）2 .

(3) 理由是：y=x2x+3=(x+1) +4,则D的坐标是(1,4).

设直线BC的解析式是y=kx+b,则，解得： ，

则直线BC的解析式是y=x+3.同理，直线CD的解析式是y=2x+6.

∵动点P(m,0)在x轴上，3<m<1，且PF⊥x轴。

∴点E(m,m+3),点F(m,2m+6),即PE=m+3,PF=2m+6.EF=PFPE=(2m+6)(m+3)=m+3，

∴EF=EP；

（4）T的坐标（-1,6）