Question

12．如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB的中点，P是线段AC上的动点，连接PD，作DQ⊥PD交线段CB于Q，连接PQ，则点P从A向C方向运动过程中，△CPQ的面积变化是先逐渐增大，再逐渐减小．

Answer 1

分析 连接CD，根据等腰直角三角形的性质得到∠A=∠B=45°，∠ACD=45°，CD=BD，∠CDB=90°，推出△PCD≌△BOQ，根据全等三角形的性质得到PD=QD，S_{四边形PCQD}=S_△CDB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，于是得到S_△PDQ=$\frac{1}{2}$PD•PQ，推出S_{四边形PCQD}一定，S_△PDQ随PD的变化而变化，过D作DE⊥AC，DF⊥BC，于是得到E，F分别是AC，BC的中点，当AP＜AE时，S_△PDQ会逐渐减小，于是得到S_△CPQ会逐渐增大，当AP＞AE时，S_△PDQ会逐渐增大，于是得到S_△CPQ会逐渐减小，即可得到结论．

解答 解：连接CD，∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵D是AB的中点，
∴∠ACD=45°，CD=BD，∠CDB=90°，
在△PCD与△BOQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PCD=∠B}\\{∠PDC=∠BDQ}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△PCD≌△BOQ，
∴PD=QD，S_{四边形PCQD}=S_△CDB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△PDQ=$\frac{1}{2}$PD•PQ，
∴S_{四边形PCQD}一定，S_△PDQ随PD的变化而变化，
过D作DE⊥AC，DF⊥BC，
∴E，F分别是AC，BC的中点，
∴点P从A向C方向运动过程中，
当AP＜AE时，S_△PDQ会逐渐减小，
∴S_△CPQ会逐渐增大，
当AP＞AE时，S_△PDQ会逐渐增大，
∴S_△CPQ会逐渐减小，
即点P从A向C方向运动过程中，△CPQ的面积变化是先逐渐增大，再逐渐减小．
故答案为：先逐渐增大，再逐渐减小．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．