Question

如图，已知一次函数y＝0.5x＋2的图象与x轴交于点A，与二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2．

(1)求二次函数y＝ax²＋bx＋c的解析式；

(2)设一次函数y＝0.5x＋2的图象与二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解答：解：(1)∵y＝0.5x＋2交x轴于点A， 　　∴0＝0.5x＋2， 　　∴x＝－4，与y轴交于点B， 　　∵x＝0， 　　∴y＝2 　　∴B点坐标为：(0，2)， 　　∴A(－4，0)，B(0，2)， 　　∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2 　　∴可设二次函数y＝a(x－2)2， 　　把B(0，2)代入得：a＝0.5 　　∴二次函数的解析式：y＝0.5x2－2x＋2； 　　(2)(Ⅰ)当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点由Rt△AOB∽Rt△BOP1∴＝， 　　∴＝， 　　得：OP1＝1， 　　∴P1(1，0)， 　　(Ⅱ)作P2D⊥BD，连接BP2， 　　将y＝0.5x＋2与y＝0.5x2－2x＋2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：(5，4.5)， 　　则AD＝， 　　当D为直角顶点时 　　∵∠DAP2＝∠BAO，∠BOA＝∠ADP2， 　　∴△ABO∽△AP2D， 　　∴＝， 　　＝， 　　解得：AP2＝11.25， 　　则OP2＝11.25－4＝7.25， 　　故P2点坐标为(7.25，0)； 　　(Ⅲ)当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3(a，0) 　　则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D 　　得：， 　　∴， 　　∵方程无解， 　　∴点P3不存在， 　　∴点P的坐标为：P1(1，0)和P2(7.25，0)．