Question

如图，边长为8的正方形ABCD中，M是BC上的一点，连结AM，作AM的垂直平分线GH交AB于G，交CD于H，若CM=2，则GH=

10

．

Answer 1

分析：先求出BM，再根据勾股定理列式求出AM，过点B作BN∥GH，可得四边形BNHG是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得BN=GH，再根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CBN，然后利用“角边角”证明△ABM和△BCN全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BN，从而得解．

解答：解：∵正方形ABCD的边长为8，CM=2，
∴BM=8-2=6，
根据勾股定理，AM=

AB2+BM2

=

82+62

=10，
如图，过点B作BN∥GH，则四边形BNHG是平行四边形，
∴BN=GH，
∵GH是AM的垂直平分线，
∴∠CBN+∠AMB=90°，
又∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CBN，
在△ABM和△BCN中，

∠BAM=∠CBN AB=BC ∠ABC=∠BCN=90°

，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴AM=BN，
∴GH=AM=10．
故答案为：10．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．