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【题目】已知点I为△ABC的内心

(1) 如图1,AI交BC于点D,若AB=AC=6,BC=4,求AI的长

(2) 如图2,过点I作直线交AB于点M,交AC于点N

① 若MN⊥AI,求证:MI2=BM·CN

② 如图3,AI交BC于点D.若∠BAC=60°,AI=4,请直接写出的值

【答案】(1)AI的长是

(2)①证明见解析;②

【解析】试题分析:(1)、根据内心的性质得出AD为线段BC的中垂线,然后根据Rt△BID的勾股定理得出答案;(2)、首先得出△AMI和△ANI全等,从而得出∠AMN=∠ANM,然后连接BI和CI,根据角度之间的关系得出△BMI和△INC相似,则NI2=BM·CN,根据NI=MI得出答案;(3)、过点N作NG∥AD交MA的延长线于G,则∠ANG=∠AGN=30° ∴AN=AG,NG=然后根据平行线性质得出,然后代入得出答案.

试题解析:(1)

(2) ∵I为△ABC的内心 AI⊥MN ∴△AMI≌△ANI(ASA) ∴∠AMN=∠ANM

连接BI、CI ∴∠BMI=∠CNI

设∠BAI=∠CAI=α,∠ACI=∠BCI=β ∴∠NIC=90°-α-β

∵∠ABC=180°-2α-2β ∴∠MBI=90°-α-β ∴△BMI∽△INC

∴NI2=BM·CN ∵NI=MI ∴MI2=BM·CN

(3) 过点N作NG∥AD交MA的延长线于G ∴∠ANG=∠AGN=30° ∴AN=AG,NG=

∵AI∥NG ∴,得

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