精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.

(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);
(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合).
①AE=EF是否总成立?请给出证明;
②在如图2的直角坐标系中,当点E滑动到某处时,点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上,求此时点F的坐标.
(1)△AGE与△ECF全等  ①AE=EF,证明见解析  ②F(?1)
(1)取AB的中点G,连接EG,利用ASA能得到△AGE与△ECF全等;
(2)①在AB上截取AM=EC,证得△AME≌△ECF即可证得AE=EF;
②过点F作FH⊥x轴于H,根据FH=BE=CH设BH=a,则FH=a-1,然后表示出点F的坐标,根据点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上得到有关a的方程求得a值即可求得点F的坐标;
(1)解:如图1,取AB的中点G,连接EG.

△AGE与△ECF全等.
(2)①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立.
证明:如图2,在AB上截取AM=EC.

∵AB=BC,
∴BM=BE,
∴△MBE是等腰直角三角形,
∴∠AME=180°-45°=135°,
又∵CF平分正方形的外角,
∴∠ECF=135°,
∴∠AME=∠ECF.
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
∴△AME≌△ECF.
∴AE=EF.
②过点F作FH⊥x轴于H,
由①知,FH=BE=CH,
设BH=a,则FH=a-1,
∴点F的坐标为F(a,a-1)
∵点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上,
∴a-1=-a2+a+1,
∴a2=2,a=±(负值不合题意,舍去),
∴a?1=?1.
∴点F的坐标为F(?1).
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是 (     ).(填正确结论的序号)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,B,顶点为C,连接CB并延长交x轴于点E,点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称.

(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标;
(2)求证:四边形ABCD是直角梯形.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

方程x2+2x-1=0的根可看成函数y=x+2与函数的图象交点的横坐标,用此方法可推断方程x3+x-1=0的实数根x所在范围为( )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知某商品的进价为每件40元,售价是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如调整价格 ,每涨价一元,每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时,商场能获得最大利润?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中,正确的是(  )
A.abc<0
B.a+c<b
C.b>2a
D.4a>2b﹣c

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为      

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

已知:M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线上,点N在直线上,设点M的坐标为,则二次函数(      )
A.有最大值,最大值为B.有最大值,最大值为
C.有最小值,最小值为D.有最小值,最小值为

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=- (x-4)2+3,由此可知铅球推出的距离是________m.

查看答案和解析>>

同步练习册答案