精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,B,顶点为C,连接CB并延长交x轴于点E,点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称.

(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标;
(2)求证:四边形ABCD是直角梯形.
(1)y=-x2-2x+3  (-1,4)  (2)见解析

(1)解:∵y=x+3与坐标轴分别交与A,B两点,∴A点坐标(-3,0)、B点坐标(0,3).
∵抛物线y=ax2+bx-3a经过A,B两点,

解得
∴抛物线解析式为:y=-x2-2x+3.
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴顶点C的坐标为(-1,4).
(2)证明:∵B,D关于MN对称,C(-1,4),B(0,3),
∴D(-2,3).∵B(0,3),A(-3,0),∴OA=OB.
又∠AOB=90°,∴∠ABO=∠BAO=45°.
∵B,D关于MN对称,∴BD⊥MN.
又∵MN⊥x轴,∴BD∥x轴.
∴∠DBA=∠BAO=45°.
∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°.
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(0,3),C(-1,4)代入得,
解得
∴y=-x+3.
当y=0时,-x+3=0,x=3,∴E(3,0).
∴OB=OE,又∵∠BOE=90°,
∴∠OEB=∠OBE=∠BAO=45°.
∴∠ABE=180°-∠BAE-∠BEA=90°.
∴∠ABC=180°-∠ABE=90°.
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°.
∵CM⊥BD,∴∠MCB=45°.
∵B,D关于MN对称,
∴∠CDM=∠CBD=45°,CD∥AB.
又∵AD与BC不平行,∴四边形ABCD是梯形.
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是直角梯形.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.

(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);
(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合).
①AE=EF是否总成立?请给出证明;
②在如图2的直角坐标系中,当点E滑动到某处时,点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上,求此时点F的坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图所示,一个二次函数的图象经过点A,C,B三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴的正半轴上,且AB=OC.则这个二次函数的解析式是________.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知△OAB的顶点A(-6,0),B(0,2),O是坐标原点, 将△OAB绕点O按顺时针旋转90°,得到△ODC.

(1)写出C点的坐标为          ;
(2)设过A,D,C三点的抛物线的解析式为,求其解析式?
(3)证明AB⊥BE.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

将抛物线y=3x2向左平移2个单位,再向下平移1个单位,所得抛物线为(  )
A.y=3(x+2)2-1B.y=3(x-2)2+1
C.y=3(x-2)2-1D.y=3(x+2)2+1

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在如图的直角坐标系中,已知点A(2,0)、B(0,-4),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC.

(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线y=-x2+ax+4经过点C.
①求抛物线的解析式;
②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+m (m为常数)的图像与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过A、C两点,并与x轴的正半轴交于点B.

(1)求m的值及抛物线的函数表达式;
(2)若P是抛物线对称轴上一动点,△ACP周长最小时,求出P的坐标;
(3)是否存在抛物在线一动点Q,使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在(2)的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1),M2(x2,y2)两点,试问是否为定值,如果是,请直接写出结果,如果不是请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,在边长为4的正方形ABCD中,动点P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动,同时动点Q从B点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动,当P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动,设P点运动的时间为t,△APQ的面积为S,则S与t的函数关系的图象是(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,动点P从点A出发,沿线段AB运动至点B后,立即按原路返回,点P在运动过程中速度不变,则以点B为圆心,线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案