Question

如图，在平面直角坐标系中，?OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点B的坐标为（4，2），OC边在x轴上．反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，过点A的直线y=-x+与x轴交于点E．
（1）直接写出点A的坐标与k的值．
（2）连接BE，所得梯形OABE是等腰梯形吗？请说明理由．
（3）请判断：?OABC的对称中心______（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上．

Answer 1

解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴点A的纵坐标=点B的纵坐标=2，
又∵一次函数解析式为：y=-x+，
∴2=-x+，
解得：x=1，即可得点A的坐标为（1，2）．
将点A的坐标代入反比例函数y=，得2=，
解得：k=2；

（2）过点A作AM⊥OE于点M，过点B作BN⊥OE于点N，
由题意得点E的坐标为（5，0），
故可得NE=1，OM=1，
∵OA=，BE=，NE=OM，AM=BN，
∴AO=BE，
∴梯形ABEO是等腰梯形；

（3）∵点B的坐标为（4，2），点O的坐标为（0，0），
∴平行四边形的对称中心的坐标为（2，1），
将（2，1）代入反比例函数解析式可得：1=，左边等于右边．
故可得：平行四边形OABC的对称中心在该反比例函数的图象上．
分析：（1）由题意得出点A的纵坐标等于点B的纵坐标，从而代入一次函数解析式可得出点A的横坐标，继而可得出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式，可得出k的值；
（2）过点A作AM⊥OE于点M，过点B作BN⊥OE于点N，然后求出点E的坐标，从而可判断出OM=NE，也可得出OA=BE，这样即可判断出梯形OABE是等腰梯形；
（3）根据O、B的坐标，可得出?OABC的对称中心的坐标，代入反比例函数即可作出判断．
点评：此题属于反比例函数的综合题，涉及了待定系数法求反比例函数解析式、等腰梯形的判定、勾股定理，难点在第二问，关键是坐标与线段长度之间的转换，难度较大．