Question

（本小题满分10分）如图，在△ABC中，∠A=2∠C，D是AC上的一点，且BD⊥BC，P在AC上移动．

（1）当P移动到什么位置时，BP=AB．

（2）求∠C的取值范围．

 

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：（1）此类问题，动点肯定运动到一个特殊位置，所以先猜想点P移动的位置为DC的中点．然后根据条件证明即可；（2）根据题意可得∠BDC＞∠A，又因为∠BDC+∠C=90°， 所以∠A+∠C＜90°，然后将∠A=2∠C代入求解即可．

试题解析：

【解析】
（1）P移动到DC的中点.

因为BD⊥BC， 所以△DBC是直角三角形，

当P移动到DC的中点时，DP=PC=BP，所以∠C=∠PBC，∠APB=∠C+∠PBC=2∠C，

又因为∠A=2∠C， 所以∠A=∠APB， 所以△ABP是等腰三角形，所以BP=AB；

（2）在△ABD中，因为∠BDC是外角，所以∠BDC＞∠A，又因为∠BDC+∠C=90°， 所以∠A+∠C＜90°，

所以2∠C+∠C＜90°， 所以∠C＜30°．

考点：等腰三角形的判定与性质．