Question

1．如图所示，已知直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是线段AB上的一个动点，连结OP，把△ABO分成两个小三角形，分别是△AOP和△BOP，当AP的长为多少时，△AOP和△BOP中至少有一个是等腰三角形？

Answer 1

分析 先求得点A和点B的坐标，从而得到OA=3，OB=4，由勾股定理可知AB=5，如图1所示：AP=AO时，AP=OA=4；如图2所示：OP=OA时，过点O，作OC⊥AB，垂足为C．先证明△OAC∽△BAO，由相似三角形的性质可求得AC=$\frac{9}{5}$，然后由等腰三角形的性质可知PC=AC，从而求得PA=$\frac{18}{5}$；如图3所示；点P为AB的中点，直角三角形斜边上中线的性质可知△APO和△BPO均为等腰三角形，从而可求得PA=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{5}{2}$；如图4所示：BP=BO时，BO=PB=4，最后根据PA=AB-BP可求得AP=1．

解答 解：∵令x=0得：y=4，
∴点B的坐标为（0，4）．
∴OB=4．
∵令y=0得：-$\frac{4}{3}$x+4=0．
∴x=3．
∴点A的坐标为（3，0）．
∵在Rt△AOB中由勾股定理可知：AB²=OB²+OA²，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
如图1所示：AP=AO时．

∵OA=3，
∴PA=3．
如图2所示：OP=OA时，过点O，作OC⊥AB，垂足为C．

∵∠A=∠A，∠OCA=∠AOB，
∴△OAC∽△BAO．
∴$\frac{AC}{OA}=\frac{OA}{AB}$，即$\frac{AC}{3}=\frac{3}{5}$．
解得：AC=$\frac{9}{5}$．
∵OP=OA，OC⊥PA，
∴PC=AC．
∴PA=2AC=$\frac{18}{5}$．
如图3所示；点P为AB的中点．

∵点P为AB的中点，∠BOA=90°，
∴OP=PB=PA．
∴△APO和△BPO均为等腰三角形．
∴PA=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{5}{2}$．
如图4所示：BP=BO时．

∵BO=4，
∴PB=4．
∴PA=AB-BP=5-4=1．
综上所述，当AP=3或AP=$\frac{18}{5}$或AP=$\frac{5}{2}$或AP=1时，△AOP和△BOP中至少有一个是等腰三角形．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、直角三角形斜边上中线的性质，根据△AOP和△BOP中至少有一个是等腰三角形画出符合题意的图形是解题的关键．