Question

【题目】观察下列等式：

（x－1）（x＋1）＝ x2 －1,

（x－1）（x2 ＋x＋1）＝x3 －1,

（x－1）（x3＋x2 ＋x＋1）＝_________,………

(1)猜想规律（x－1）（xn ＋xn－1＋…+x2 ＋x＋1）＝______,

(2)根据上面的结论，你能求出下面式子的结果吗？

（x20 －1）÷（x－1）＝_______,

(3)已知x3＋x2 ＋x＋1=0，求x2012的值.

Answer 1

【答案】x4－1；（1）；（2）x 19 ＋x 18＋…+x 2 ＋x＋1；（3）x2012＝1.

【解析】

（1）根据已知等式得到规律：等式的右边是两项，且x的指数比左边式子后边括号中x的最高指数大1；

（2）根据（1）的结论即可直接得到答案；

（3）由x 3＋x 2 ＋x＋1=0，得到（x－1）（x 3＋x 2 ＋x＋1）＝0，即可得到x4－1＝0，由此求得x2012＝1.

x4－1，

（1）；

（2）（x20 －1）÷（x－1）=x 19 ＋x 18＋…+x 2 ＋x＋1；

（3）∵x 3＋x 2 ＋x＋1=0，

∴（x－1）（x 3＋x 2 ＋x＋1）＝0，

∴x4－1＝0，

∴x4＝1，

∴x2012＝1.